Volatilidade de preços da opção binomial

Exemplos para entender o modelo de preço da opção Binomial É bastante desafiador concordar com o preço exato de qualquer ativo negociável, mesmo hoje em dia. É por isso que os preços das ações continuam mudando constantemente. Na realidade, a empresa dificilmente altera sua avaliação no dia-a-dia, mas o preço das ações e sua valoração mudam a cada segundo. Isso mostra dificilmente alcançar um consenso sobre o preço atual de qualquer bem negociável, o que leva a oportunidades de arbitragem. No entanto, essas oportunidades de arbitragem são realmente de curta duração. Tudo se resume à avaliação atual, o que é o preço atual atual hoje para uma recompensa futura esperada. Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, os ativos com estruturas idênticas de remuneração devem ter o mesmo preço. A avaliação das opções tem sido uma tarefa desafiadora e observam-se altas variações nos preços, levando a oportunidades de arbitragem. Black-Scholes continua sendo um dos modelos mais populares usados ​​para opções de preços. Mas tem suas próprias limitações. (Para obter mais informações, consulte: Preço das opções). O modelo de preço da opção binomial é outro método popular usado para opções de preços. Este artigo discute alguns exemplos abrangentes passo a passo e explica o conceito subjacente de risco neutro na aplicação deste modelo. (Para leitura relacionada, veja: Rompendo o modelo Binomial para Valorar uma Opção). Este artigo assume a familiaridade do usuário com opções e conceitos e termos relacionados. Suponha que exista uma opção de compra em uma determinada ação cujo preço de mercado atual é de 100. A opção ATM tem um preço de exercício de 100 com prazo de vencimento de um ano. Existem dois comerciantes, Peter e Paul, que ambos concordam que o preço das ações aumentará para 110 ou cai para 90 em um ano. Ambos concordam com os níveis esperados de preços em um determinado período de um ano, mas não concordam com a probabilidade do movimento para cima (e para baixo). Peter acredita que a probabilidade de o preço das ações chegar a 110 é de 60, enquanto Paulo acredita que é 40. Com base no acima, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra Possivelmente Peter, como ele espera uma alta probabilidade de mudança para cima. Vamos ver os cálculos para verificar e entender isso. Os dois ativos em que depende a avaliação são a opção de compra e o estoque subjacente. Existe um acordo entre os participantes de que o preço do estoque subjacente pode passar dos atuais 100 para 110 ou 90 em um ano, e não há outros movimentos de preços possíveis. Em um mundo livre de arbitragem, se devemos criar um portfólio que inclua esses dois ativos (opção de compra e ações subjacentes), de modo que, independentemente de onde o preço subjacente seja (110 ou 90), o retorno líquido da carteira permanece sempre o mesmo . Suponhamos que nós compramos d ações de opções subjacentes e de uma chamada curta para criar esse portfólio. Se o preço for de 110, nossas ações valerão 110d e bem, perderá 10 em curto pagamento de chamadas. O valor líquido de nossa carteira será (110d 10). Se o preço cair para 90, nossas ações valerão 90d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido de nossa carteira será (90d). Se queremos que o valor do nosso portfólio permaneça o mesmo, independentemente de onde quer que o preço das ações subjacentes, o nosso valor de carteira deve permanecer o mesmo em ambos os casos, ou seja: gt (110d 10) 90d, ou seja, se comprarmos metade do compartilhamento ( Assumindo que as compras fraccionadas são possíveis), conseguiremos criar um portfólio de forma que seu valor permaneça o mesmo nos dois estados possíveis dentro do prazo determinado de um ano. (Ponto 1) Este valor de carteira, indicado por (90d) ou (110d -10) 45, é um ano abaixo da linha. Para calcular o valor presente. Pode ser descontado por taxa de retorno livre de risco (assumindo 5). Gt 90d exp (-51 ano) 45 0.9523 42.85 gt Valor presente da carteira Como atualmente, a carteira é constituída por ações do estoque subjacente (com preço de mercado 100) e 1 chamada curta, deve ser igual ao valor presente calculado acima Ie gt 12100 Preço 1call 42.85 gt Preço de chamada 7.14, ou seja, o preço da chamada a partir de hoje. Uma vez que isso se baseia na suposição acima de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente de qual o preço subjacente (ponto 1 acima), a probabilidade de mover para cima ou para baixo não desempenha qualquer papel aqui. O portfólio permanece livre de riscos, independentemente dos movimentos de preços subjacentes. Em ambos os casos (assumido como sendo em movimento para 110 e para baixo, mude para 90), nosso portfólio é neutro para o risco e ganha a taxa de retorno livre de risco. Portanto, ambos os comerciantes, Peter e Paul, estarão dispostos a pagar o mesmo 7.14 para esta opção de chamada, independentemente de suas próprias percepções diferentes das probabilidades de movimentos ascendentes (60 e 40). Suas probabilidades percebidas individualmente não desempenham nenhum papel na avaliação de opções, como se vê a partir do exemplo acima. Se supor que as probabilidades individuais sejam importantes, haveria oportunidades de arbitragem existentes. No mundo real, tais oportunidades de arbitragem existem com menores diferenciais de preços e desaparecem em curto prazo. Mas, onde é a volatilidade muito alta em todos esses cálculos, que é um fator importante (e mais sensível) que afeta o preço das opções. A volatilidade já está incluída na natureza da definição do problema. Lembre-se de que estamos assumindo dois (e apenas dois - e, portanto, o nome binomial) dos níveis de preços (110 e 90). A volatilidade está implícita nessa suposição e, portanto, inclui automaticamente 10 de qualquer maneira (neste exemplo). Agora, vamos fazer uma verificação de sanidade para ver se a nossa abordagem é correta e coerente com o preço comummente utilizado da Black-Scholes. (Veja: O modelo de avaliação da opção Black-Scholes). Aqui estão as capturas de tela dos resultados das calculadoras das opções (cortesia da OIC), que combina de perto com nosso valor calculado. Infelizmente, o mundo real não é tão simples quanto apenas dois estados. Existem vários níveis de preços que podem ser alcançados pelo estoque até o momento de expirar. É possível incluir todos esses níveis múltiplos em nosso modelo de precificação binomial, que é restrito a apenas dois níveis. Sim, é muito possível, e para entender isso, vamos entrar em alguma matemática simples. Alguns passos de cálculo intermediários são ignorados para mantê-lo resumido e focado nos resultados. Para avançar, generalizamos esse problema e solução: X é o preço de mercado atual do estoque e Xu e Xd são os preços futuros para movimentos para cima e para baixo nos anos seguintes. Factor você será maior do que 1, pois indica que o movimento e d ficam entre 0 e 1. Para o exemplo acima, u1.1 e d0.9. As recompensas da opção de chamada são P up e P dn para movimentos para cima e para baixo, no momento do caducidade. Se construímos uma carteira de ações de s compradas hoje e uma curta opção de chamada, então, depois do tempo t: Valor da carteira em caso de movimento ascendente SXu P up Valor da carteira em caso de queda de movimento sXd P dn Para avaliação semelhante em ambos os casos de Movimento de preço, gt s (P up - P dn) (X (ud)) no. De ações para comprar para portfólio livre de risco O valor futuro da carteira no final de anos será o valor atual de acima pode ser obtido descontando-o com taxa de retorno livre de risco: Isso deve corresponder à participação da carteira de ações da s em X preço e valor de chamada curto c, ou seja, a data atual de retenção de (s X - c) deve ser igual à acima. Resolver para c finalmente dá c como: SE CURRIR O PRIMEIRO DE CHAMADAS DEVEM SER ADICIONAIS A PORTFOLIO NÃO SUBTRAÇÃO. Outra maneira de escrever a equação acima é reorganizando-a da seguinte forma: então a equação acima se torna Reorganizando a equação em termos de q ofereceu uma nova perspectiva. Q agora pode ser interpretado como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como q é associado com P up e 1-q está associado a P dn). Em geral, a equação acima representa o preço atual da opção, ou seja, o valor descontado da sua recompensa no vencimento. Como é esta probabilidade q diferente da probabilidade de mover para cima ou para baixo do subjacente O valor do preço da ação no tempo tq Xu (1-q) Xd Substituindo o valor de q e reorganizando, o preço da ação no tempo t vem Neste mundo assumido de dois estados, o preço do estoque simplesmente aumenta pela taxa de retorno livre de risco, ou seja, exatamente como um recurso livre de risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Todos os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, e isso constitui o modelo de risco neutro. A probabilidade q e (1-q) são conhecidas como probabilidades de risco neutro e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação de risco neutro. O exemplo acima tem um requisito importante: a futura estrutura de recompensa é necessária com precisão (nível 110 e 90). Na vida real, a clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível, em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em vários níveis. Vamos ampliar o exemplo. Suponha que os níveis de preços em duas etapas são possíveis. Conhecemos os resultados finais do segundo passo e precisamos valorar a opção hoje (ou seja, na etapa inicial). Trabalhando para trás, a avaliação do primeiro passo intermediário (em t1) pode ser feita usando os resultados finais no segundo passo (t2) e, em seguida, usando estes Avaliação de primeiro passo calculada (t1), a avaliação atual (t0) pode ser alcançada usando os cálculos acima. Para obter o preço das opções no nº. 2, recompensas em 4 e 5 são usadas. Para obter preços para o número. 3, recompensas em 5 e 6 são usadas. Finalmente, os pagamentos calculados em 2 e 3 são usados ​​para obter preços no nº. 1. Por favor, note que nosso exemplo assume o mesmo fator para mover para cima (e para baixo) em ambos os passos - u (e d) são aplicados de forma combinada. Aqui está um exemplo de trabalho com cálculos: suponha uma opção de venda com preço de exercício 110 negociando atualmente em 100 e expirando em um ano. A taxa livre de risco anual é de 5. O preço deverá aumentar 20 e diminuir 15 a cada seis meses. Vamos estruturar o problema: Aqui, u1.2 e d 0.85, X100, t 0.5 valor da opção de colocação no ponto 2, Na condição de up de P, o subjacente será 1001.21.2 144 levando a P upup zero Na condição de P updn, subjacente Seja 1001.20.85 102 levando a P updn 8 Na condição P dndn, subjacente será 1000.850.85 72.25 levando a P dndn 37.75 p 2 0.975309912 (0.358028320 (1-0.35802832) 8) 5.008970741 De forma similar, p 3 0.975309912 (0.358028328 (1- 0.35802832) 37.75) 26.42958924 E, portanto, valor da opção de venda, p 1 0.975309912 (0.358028325.008970741 (1-0.35802832) 26.42958924) 18.29. Da mesma forma, os modelos binomiais permitem quebrar a duração da opção inteira para refinar vários níveis de etapas. Usando programas de computador ou planilhas pode-se trabalhar para trás um passo de cada vez, para obter o valor atual da opção desejada. Concluímos com mais um exemplo envolvendo três etapas para a avaliação da opção binomial: Assuma uma opção de venda de tipo europeu, com um prazo de vencimento de 9 meses com preço de exercício de 12 e preço subjacente atual em 10. Aceite taxa livre de risco de 5 para todos os períodos. Assuma cada 3 meses, o preço subjacente pode mover-se 20 para cima ou para baixo, dando-nos u1.2, d0.8, t0.25 e árvore binomial de 3 etapas. Os números em vermelho indicam preços subjacentes, enquanto os que estão em azul indicam a opção de recompensa da venda. A probabilidade neutra de risco q calcula para 0,531446. Usando o valor acima de q e os valores de recompensa em t9 meses, os valores correspondentes em t6 meses são calculados como: Além disso, usando esses valores calculados em t6, os valores em t3 e, em seguida, em t0 são: dando o valor atual da opção put como 2.18, o que é bastante próximo do calculado utilizando o modelo Black-Scholes (2.3). Embora o uso de programas de computador facilite muito esses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua a ser uma grande limitação de modelos binomiais para preços de opções. Quanto mais finos os intervalos de tempo, mais difícil consegue prever com precisão os retornos no final de cada período. No entanto, a flexibilidade para incorporar mudanças como esperado em diferentes períodos de tempo é uma vantagem acrescida, o que torna adequado para o preço das opções americanas. Incluindo avaliações de exercícios antecipados. Os valores calculados usando o modelo binomial coincidem com os calculados a partir de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais para o preço das opções. Os modelos de preços binomiais podem ser desenvolvidos de acordo com uma preferência de comerciante e funcionam como uma alternativa para o Black-Scholes. ESO: Usando o modelo Binomial Em 1 de abril de 2004, o Financial Accounting Standards Board (FASB) publicou uma proposta sobre o novo tratamento contábil de Opções de estoque de empregados ESOs. As regras finais provavelmente serão emitidas em algum momento no outono de 2004. Mas as regras finais provavelmente se assemelham à proposta: o FASB rejeitou - claramente para sua própria satisfação - as críticas mais visíveis e óbvias da proposta de despesas de opções de ações. Atualmente, a maioria das empresas usa o modelo de precificação de opções Black-Scholes para avaliar seus ESOs. As novas regras, no entanto, incentivam - mas não exigem - as empresas a usar o modelo binomial. Portanto, podemos esperar que as empresas mudem para o binômio na próxima temporada do relatório anual. Nesta seção, explicamos a idéia por trás do modelo binomial. O Binomial constrói uma árvore de preços futuros de ações O Black-Scholes é um modelo fechado, o que significa que resolve ou deduz um preço de opções de uma equação. Em contraste, o binômio é um modelo aberto ou em rede. Ele cria uma árvore de possíveis movimentos futuros de estoque-preço e induz o preço das opções. Comece com um binômio de uma única etapa. Suponhamos que concedamos uma opção em um estoque de 10 que expirará em um ano. Nós também assumimos que há uma chance de 50 que o preço salte 12 ao longo do ano e 50 chances de que o estoque caia 12. Existem três cálculos básicos. Primeiro, planejamos os dois possíveis preços das ações futuras. Em segundo lugar, traduzimos os preços das ações em valores de opções futuras: no final do ano, esta opção valerá 1,20 ou nada. Em terceiro lugar, descontamos os valores futuros em um único valor presente. Nesse caso, os 1.20 descontos para 1.14 porque assumimos uma taxa de 5 menos risco. Depois de ponderar cada resultado possível em 50, o binômio de uma única etapa diz que nossa opção vale 0,57 em concessão. Um binômio de pleno direito simplesmente estende esse modelo de um passo em uma caminhada aleatória de várias etapas (ou intervalos). Como tal, o cálculo do binômio envolve as mesmas três ações básicas. Primeiro, a árvore dos possíveis preços das ações futuras é construída e a entrada de volatilidade determina a magnitude de cada salto para cima ou para baixo. Em segundo lugar, os preços das ações futuras são convertidos em valores de opção em cada intervalo na árvore. Em terceiro lugar, esses futuros valores de opção são descontados de volta a um único valor presente. Este terceiro passo é chamado de indução para trás. A indução reversa simplesmente começa com os valores das opções finais e funciona para trás através de uma série de mini-modelos de um passo. Por exemplo, o valor das opções para Su4 acima (o valor seguinte ao último na parte superior da árvore) é apenas uma mistura ponderada dos dois nós finais que se seguem. E Su3 torna-se uma mistura ponderada do Su4 e Su2, e assim por diante até o modelo converger para um único valor de opção - em termos de valor presente - na frente da árvore. O Binomial Tree valoriza uma opção de estilo americano com flexibilidade. Uma grande vantagem do binômio é que ele pode valorizar uma opção de estilo americano. O que pode ser exercido antes do final do prazo, e é o estilo de opção que os ESO geralmente usam. O modelo atinge essa capacidade de avaliação comparando o valor calculado em cada nó (como acima) com o valor intrínseco nesse nó. Nos poucos casos em que o valor intrínseco é maior, o modelo assume que a opção vale o valor intrínseco no nó. Isso tem o efeito geral de aumentar o valor da opção de estilo americano em relação a uma opção de estilo europeu. Como alguns dos nós são aumentados. Você pode ver que o binômio é um modelo de força bruta que pode ser construído com uma flexibilidade quase ilimitada. O FASB prefere o modelo binomial porque ele pode criar as características únicas de um ESO. Considere duas características principais que a FASB recomenda que as empresas construam o modelo binomial: restringir as restrições e o exercício inicial. A árvore binomial acima é a mesma que antes, exceto com duas diferenças. Primeiro, porque a opção não é investida nos primeiros anos, o modelo não assume exercícios iniciais durante esses anos (o que seria feito para resgatar valores intrínsecos elevados nos caminhos de salto ascendentes). Segundo - e esta é uma diferença fundamental - o binômio permite um fator de exercício. O FASB chama isso de fator de exercício subóptimo. Um fator de exercício de 2x, por exemplo, permite ao modelo assumir que os funcionários exercerão a opção se o preço da ação aumentar para dobrar (2x) o preço de exercício. A idéia por trás desse fator é simplesmente antecipar o exercício antecipado das opções dentro do dinheiro em circunstâncias favoráveis. Se o fator de exercício for acionado, a opção é assumida como sendo exercida, e a árvore binomial basicamente pára nesse nó. Você pode ver esses dois recursos reduzir o valor da opção, todas as outras coisas sendo iguais. A seção não-adquirida do modelo limita o valor em cada nó ao valor descontado dos dois futuros nós (mesmo quando o valor intrínseco é maior e, portanto, seria normalmente usado em vez disso). O fator de exercício elimina o valor adicional que poderia resultar da opção se fosse continuar a conduzir a trajetória ascendente. A nova regra de contabilidade favorece o binômio A regra contábil proposta (SFAS 123 modificado) favorece o binômio para os preços ESOs. À medida que as empresas mudam do Black-Scholes para o binômio, há quatro diferenças importantes nos métodos de avaliação a serem observados: Tenha em mente que os ESOs são muito menos líquidos do que as opções negociadas, uma vez que um empregado não pode vender sua opção em uma troca pública. Você pode lembrar que o Black-Scholes lida com uma solução de banda: as empresas usam uma vida esperada reduzida em vez do termo completo de 10 anos como entrada no Black-Scholes. Como o modelo binomial já é construído - nesses fatores de iliquidez através das restrições de aquisição e dos pressupostos de exercícios iniciais, o binômio aceita o termo completo de 10 anos como entrada. Implicações práticas O binômio contém mais suposições do que o Black-Scholes. Alguns argumentaram que o binômio produzirá estimativas de despesas dramaticamente mais baixas que o Black-Scholes, mas isso não é necessariamente o caso. Alternar de Black-Scholes para o binômio pode aumentar ligeiramente, manter ou diminuir a despesa das opções. Certamente, se uma empresa estabelece um fator de exercício agressivamente baixo como 1.25x (o que assumiria que os funcionários exercerão suas opções quando o estoque for 25 acima do preço de exercício), o binômio produzirá uma estimativa de valor menor. Por outro lado, se todas as entradas forem inalteradas e o fator de exercício for alto, o valor das opções no binômio pode aumentar porque incorpora o valor adicional dos ESOs de estilo americano, que podem ser exercidos antecipadamente. É claro que uma empresa também pode tentar obter um valor menor ajustando as entradas à medida que troca modelos. Por exemplo, mudar de 40 volatilidade sob Black-Scholes para uma faixa de volatilidade de 20 a 40 sob o binômio é susceptível de produzir um menor valor de opções. Mas, neste exemplo, a causa real de um valor menor não é uma mudança nos modelos de preços de opções, tanto quanto a redução da volatilidade média de 40 a 30. Abaixo, comparamos o valor Black-Scholes com o valor binomial para uma opção em um estoque 100. Nós usamos a mesma volatilidade para ambos os modelos, de modo que a diferença primária de avaliação é reduzida para (1) a entrada de vida esperada utilizada no Black-Scholes em comparação com (2) o fator de exercício usado no binômio. Outras variáveis ​​são importantes, é claro, mas essa é a principal diferença entre os modelos quando a mesma volatilidade é usada. Você pode ver isso, quando você coloca tudo em conjunto, o binômio pode ser maior, menor ou similar ao Black-Scholes. Resumo Esta e a seção anterior deste recurso resumem duas abordagens diferentes para estimar o valor justo de um ESO no momento em que é concedido. De acordo com as regras propostas, esse valor justo deve ser reconhecido como uma despesa em demonstrações de resultados com exercícios iniciados após 15 de dezembro de 2004. Se houvesse um mercado público ou câmbio para negociação de ESOs, a empresa poderia e usaria preços de mercado. Sem isso, o modelo binomial representa uma tentativa de afinar o valor justo teoricamente correto de um ESO, dado seus recursos exclusivos. No entanto, é apenas uma tentativa de capturar o valor justo na concessão, à luz da incerteza futura. O custo finalmente realizado da opção dependerá da trajetória futura do estoque-preço, que é susceptível de divergir do valor justo. ESOs: Diluição - Parte 1